京都大学 2008年度
理系数学 第1問

解答

$h(x)=\log x-px-q(x>0)$ とおく。直線 $y=px+q$ と曲線 $y=\log x$ が共有点をもたないことは，方程式 $h(x)=0$ が $x>0$ に解をもたないことと同値である。

まず $p\leqq 0$ の場合を考える。$x\to +0$ のとき $\log x\to -\infty$ であり，$-px-q$ は少なくとも下に発散する項ではないので $h(x)\to -\infty$ である。一方，$p<0$ なら $-px\to \infty$，$p=0$ なら $\log x\to \infty$ により，$x\to \infty$ で $h(x)\to \infty$ となる。$h$ は連続だから，この場合は必ず $h(x)=0$ の解を持つ。したがって共有点をもたないためには $p>0$ が必要である。

以下 $p>0$ とする。このとき $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-p$ である。よって $0<x<1/p$ では $h^{\prime }(x)>0$，$x>1/p$ では $h^{\prime }(x)<0$ となるので，$h(x)$ は $x=\frac{1}{p}$ で最大値をとる。また $x\to +0$ と $x\to \infty$ のどちらでも $h(x)\to -\infty$ である。

したがって $x>0$ に解をもたないための必要十分条件は，最大値が0より小さいことである。最大値は

であるから，条件は $-\log p-1-q<0$ すなわち $p>0,q>-\log p-1$ である。等号の場合は接点を1つ持つので，問題の条件には含まれない。