問題
地球上の北緯東経の地点を、北緯東経の地点をとする。からに向かう2種類の飛行経路、を考える。は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。に比べては飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば三角関数表を用いてよい。
出典：京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系乙 理系乙 第6問
方針
地球の半径を とする。同一緯度の経路 は半径 の円の 分である。大円経路 については、地球の中心から へ向かう単位ベクトルの内積から中心角 の余弦を求める。三角関数表で を示せば、距離比は と評価できる。
解答
地球の半径を とする。緯度 の緯線は半径
の円である。 の経度差は だから、経路 の長さを とすると
である。
次に、地球の中心を とし、 とする。緯度を 、経度を とすると、地球の中心からその地点へ向かう単位ベクトルは
と表せる。したがって2点の緯度がとも 、経度差が であることから
である。
三角関数表によれば
である。 から まで余弦は単調に減少するので
を得る。短い方の大円経路の長さは であり、 は中心角 に相当する長さだから
よって
であり、 は より3％以上短い。