京都大学 2008年度理系乙数学理系乙第4問解答・解説

問題

定数 $a$ は実数であるとする。関数 $y = ∣ x^{2} - 2∣$ と $y = ∣2 x^{2} + a x - 1∣$ のグラフの共有点はいくつあるか。 $a$ の値によって分類せよ。

出典：京都大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系乙理系乙第4問

$∣ U ∣ = ∣ V ∣$ を $U = V$ または $U = - V$ に分けると、共有点の $x$ 座標は2つの二次方程式の実数解の和集合になる。各方程式の実数解の個数を判別式で数え、最後に両方程式の共通解が生じる $a$ を求めて重複を1つ差し引く。

共有点の $x$ 座標は

∣ x^{2} - 2∣ = ∣2 x^{2} + a x - 1∣

を満たす実数 $x$ である。絶対値の性質から、これは

x^{2} - 2 = 2 x^{2} + a x - 1

または

x^{2} - 2 = - (2 x^{2} + a x - 1)

と同値である。したがって

P (x) = x^{2} + a x + 1 = 0

または

Q (x) = 3 x^{2} + a x - 3 = 0

を考えればよい。

$P (x) = 0$ の判別式は $a^{2} - 4$ だから、実数解の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 012 (∣ a ∣ < 2), (∣ a ∣ = 2), (∣ a ∣ > 2)

である。一方、 $Q (x) = 0$ の判別式は $a^{2} + 36 > 0$ なので、全ての $a$ に対して異なる2実根をもつ。

ただし、2つの方程式が共通解をもつ場合は、その解を二重に数えないようにする必要がある。共通解 $x$ があるとすると

Q (x) - 3 P (x) = - 2 a x - 6 = 0

である。 $a = 0$ ではこの式は成り立たないから $a \neq = 0$ であり、 $x = - 3/ a$ となる。これを $P (x) = 0$ に代入すると

\frac{9}{a ^{2}} - 3 + 1 = 0, a^{2} = \frac{9}{2}

を得る。逆に $a^{2} = 9/2$ のとき $x = - 3/ a$ は実際に共通解である。したがって共通解が生じるのは

∣ a ∣ = \frac{3}{2}

のときに限り、その個数は1個である。

以上より共有点の個数は

a の範囲 ∣ a ∣ < 2 ∣ a ∣ = 2 ∣ a ∣ = \frac{3}{2} ∣ a ∣ > 2, ∣ a ∣ \neq = \frac{3}{2} 共有点の個数 2334

となる。