問題
空間の1点を通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれとも以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。
出典：京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系乙 理系乙 第3問
方針
4直線の方向ベクトルを とする。空間の4ベクトルには1次関係があり、どの3本も同一平面上にないため、その関係の4係数は全て0でない。この関係を「向かい合う2頂点の位置ベクトルの和が等しい」という平行四辺形の条件に読み替える。
解答
各直線の方向ベクトルをそれぞれ とする。どの3直線も同一平面上にないので、これらから任意に選んだ3ベクトルは1次独立である。
一方、空間の4ベクトルは1次従属であるから、全てが0ではない実数 が存在して
となる。ここで各 は0でない。実際、例えば なら残りの3ベクトルが1次従属となり、先の条件に反する。他の係数についても同様である。
4直線上に点 を
によって定める。各係数は0でないから、これらは全て とは異なる点である。また上の1次関係から
を得る。したがって線分 と の中点は一致し、4点 はこの順に平行四辺形の頂点となる。
さらに、上式から なので、 は を通る平面上にある。この平面が を通るとすると、3ベクトル が同一平面内にあり、 の1次独立性に反する。よってこの平面は を通らず、各直線との交点はちょうど である。
以上により、条件を満たす平面が存在する。