問題
正角形とその外接円を合わせた図形をとする．上の点に対して，始点と終点がともにであるような，図形の一筆がきの経路の数をで表す．正角形の頂点をひとつとってとし，とおく．また正角形の辺をひとつとってその中点をとし，とおく．このときとを求めよ．
注： 一筆がきとは，図形を，かき始めから終わりまで，筆を紙からはなさず，また同じ線上を通らずにかくことである．
方針
図形 を，正 角形の辺からなる 本の辺と，外接円の弧からなる 本の辺をもつグラフとして見る。各頂点には4本の線が集まるので，一筆書きは各頂点で4本の半辺を2組に組み合わせる「通過の仕方」を決めることに対応する。1つの閉じた経路になる通過の仕方を数え，頂点 からは最初に出る向きが4通り，辺の中点 からは2通りであることを掛ける。
解答
正 角形の各辺と，外接円上で隣り合う頂点を結ぶ各弧を，それぞれ1本の線と見る。すると は，隣り合う頂点の間に2本の線があるグラフであり，線の総数は 本である。各頂点には，正 角形の2辺と外接円の2弧，合計4本が集まる。
まず，頂点から出る最初の1本を固定したときの一筆書きの数を数える。その数を とする。
一筆書きでは，各頂点に来るたびに，入ってきた線と出ていく線が組になる。したがって，各頂点では4本の半辺を2組に分けることになる。ここで，正 角形の辺どうし，外接円の弧どうしをそのままつなぐ頂点を「切り替えない頂点」と呼び，正 角形の辺と外接円の弧をつなぐ頂点を「切り替える頂点」と呼ぶ。
切り替える頂点が1つもないと，正 角形と外接円を別々に一周する2つの閉曲線に分かれ，一筆書きにはならない。そこで，切り替える頂点がちょうど 個であるとする 。その頂点の選び方は 通りである。
切り替える頂点を円周上の順に並べる。固定した最初の線からたどると，1本の閉じた経路にするには，切り替え方の向きを最初に2通りのうちから選び，その後，切り替え頂点を2個ずつ組にして，正 角形側と外接円側の区間を交互につないでいくことになる。 が偶数のときは接続の戻り位置が 通り， が奇数のときは 通りある。したがって，選ばれた 個の頂点に対して，1つの閉じた経路を作る切り替え方は 通りである。
よって，最初の線を固定したときの一筆書きの数は
である。ここで が偶数なら ， が奇数なら であるから，
ここで， と，奇数個を選ぶ方法の総数が であることを用いた。
頂点 から始める場合，最初に出る線は4通りである。したがって である。
次に，正 角形の辺の中点 から始める場合を考える。 からは，その辺に沿って左右どちらへ進むかの2通りだけがある。最初の向きを決めた後は，頂点に着いてからの通過の決め方は上で数えた と同じである。よって である。