京都大学 2008年度
文系数学 第4問

解答

$u=\sin x+\cos x$ とおく。このとき $-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$ であり，$u^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x$ より $\sin x\cos x=\frac{u^2-1}{2}$ である。また

したがって与えられた方程式は $2\sqrt{2}\cdot \frac{u(3-u^2)}{2}+3\cdot \frac{u^2-1}{2}=0$ である。両辺を整理し，符号を反転して $P(u)=2\sqrt{2}{u}^3-3u^2-6\sqrt{2}u+3=0$ を考えればよい。

導関数は

である。したがって $-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$ において，$P(u)$ は $-\sqrt{2}\leqq u\leqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ で増加し，$-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq u\leqq \sqrt{2}$ で減少する。

端点と極大点での値を調べると $P(-\sqrt{2})=1,$ $P\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{13}{2},$ $P(\sqrt{2})=-7$ である。よって前半の区間では根を持たず，後半の区間で正から負へ1回だけ変わる。したがって許される範囲 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ の中に $P(u)=0$ の根はただ1個あり，しかもそれは端点ではない。

最後に $u=\sin x+\cos x$ に戻る。 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ であるから，$-\sqrt{2}<u<\sqrt{2}$ の各値に対して，$0\leqq x<2\pi$ で解は2個ある。今回の $u$ の根は端点ではないので，求める $x$ の個数は $2$ である。