京都大学 2008年度文系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ ， $c$ に対して $f (x) = a x^{2} + b x + c$ とする．このとき $\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) {f^{'} (x)}^{2} d x ≦ 6 \int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x$ であることを示せ．

出典：京都大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ をそのまま代入し，左右の積分を $a, b, c$ で表す。 $[- 1, 1]$ 上では奇関数の積分が消えるため， $x$ の奇数乗を含む項を落として整理できる。最後は右辺から左辺を引き， $(a + 3 c)^{2} + 2 b^{2}$ の形の平方和になることを示せばよい。不等式の証明なので，差が非負であることと等号条件まで確認する。

解答

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ とすると $f^{'} (x) = 2 a x + b$ である。まず左辺を計算する。

(1 - x^{2}) {f^{'} (x)}^{2} = (1 - x^{2}) (2 a x + b)^{2} = (1 - x^{2}) (4 a^{2} x^{2} + 4 ab x + b^{2}) .

$[- 1, 1]$ で奇関数の積分は $0$ になるので， $4 ab x (1 - x^{2})$ の積分は消える。したがって

\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) {f^{'} (x)}^{2} d x = 4 a^{2} \int_{- 1}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x + b^{2} \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = 4 a^{2} (\frac{2}{3} - \frac{2}{5}) + b^{2} (2 - \frac{2}{3}) = \frac{16}{15} a^{2} + \frac{4}{3} b^{2} .

次に右辺を計算する。

{f (x)}^{2} = (a x^{2} + b x + c)^{2} = a^{2} x^{4} + b^{2} x^{2} + c^{2} + 2 ab x^{3} + 2 a c x^{2} + 2 b c x .

ここでも奇関数の項の積分は消えるから，

6 \int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x = 6 (a^{2} \cdot \frac{2}{5} + b^{2} \cdot \frac{2}{3} + c^{2} \cdot 2 + 2 a c \cdot \frac{2}{3}) = \frac{12}{5} a^{2} + 4 b^{2} + 12 c^{2} + 8 a c .

よって右辺から左辺を引くと

6 \int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x - \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) {f^{'} (x)}^{2} d x = (\frac{12}{5} - \frac{16}{15}) a^{2} + (4 - \frac{4}{3}) b^{2} + 8 a c + 12 c^{2} = \frac{4}{3} a^{2} + \frac{8}{3} b^{2} + 8 a c + 12 c^{2} = \frac{4}{3} {(a + 3 c)^{2} + 2 b^{2}} .

これは常に $0$ 以上である。したがって $\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) {f^{'} (x)}^{2} d x ≦ 6 \int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x$ が成り立つ。なお等号は $a + 3 c = 0$ かつ $b = 0$ のときに起こる。

京都大学 2008年度文系数学 第1問

問題

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解答

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文系数学第1問