京都大学 2006年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし、領域 $D_{n} = {(x, y) ∣ \frac{x}{n + \frac{1}{2}} ≦ y ≦ [x + 1] - x, x ≧ 0}$ を考える。ただし、 $[x]$ は $x$ より大きくない最大の整数を表す。 $D_{n}$ の面積を求めよ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

$k ≦ x < k + 1$ ごとに床関数を外す。この区間で領域が存在する範囲を求めると、各部分は直角三角形になる。その面積は連続する奇数の平方に比例するので、最後に平方和を整理する。

$k$ を0以上の整数とし、 $k ≦ x < k + 1$ とする。このとき

[x + 1] - x = k + 1 - x .

上下の境界が交わる $x$ 座標は

\frac{x}{n + \frac{1}{2}} = k + 1 - x

より

x = \frac{( 2 n + 1 ) ( k + 1 )}{2 n + 3}

である。この値が $k$ 以上となるのは $0 ≦ k ≦ n$ のときであり、その区間内での底辺の長さは

\frac{( 2 n + 1 ) ( k + 1 )}{2 n + 3} - k = \frac{2 n + 1 - 2 k}{2 n + 3} .

また $x = k$ における上下の境界の差、すなわち高さは

1 - \frac{k}{n + \frac{1}{2}} = \frac{2 n + 1 - 2 k}{2 n + 1} .

したがって、 $k ≦ x < k + 1$ に含まれる部分の面積は

\frac{( 2 n + 1 - 2 k ) ^{2}}{2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} .

よって $D_{n}$ の面積は

\frac{1}{2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} k = 0 \sum n (2 n + 1 - 2 k)^{2} .

ここで

k = 0 \sum n (2 n + 1 - 2 k)^{2} = 1^{2} + 3^{2} + \dots + (2 n + 1)^{2} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )}{3} .

したがって求める面積は

\frac{n + 1}{6}

である。