京都大学 2006年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

さいころを $n$ 個同時に投げるとき、出た目の数の和が $n + 2$ になる確率を求めよ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

各さいころの目から1を引く。すると、求める事象は $n$ 個の0以上の整数の和が2となる場合の数に言い換えられる。和が2なので、各数が5以下というさいころ由来の上限は自動的に満たされる。

第 $i$ のさいころの目を $X_{i}$ とし、 $Y_{i} = X_{i} - 1$ とおく。求める条件は

Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{n} = 2, Y_{i} ≧ 0

である。

この解は、1つの $Y_{i}$ が2で他が0の場合が $n$ 通り、異なる2つの $Y_{i}$ が1で他が0の場合が $_{n} C_{2}$ 通りである。したがって場合の数は

n +_{n} C_{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2} .

全事象は $6^{n}$ 通りで、いずれも同様に確からしい。よって求める確率は

\frac{n ( n + 1 )}{2 \cdot 6 ^{n}}

である。