京都大学 2006年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$△ A B C$ の内心を $P$ とする。 $P A + P B + P C = 0$ が成り立っているとき、この三角形は正三角形であることを示せ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

与式を位置ベクトルで読み替え、 $P$ が三角形の重心でもあることを示す。内心から頂点への直線は角の二等分線であり、重心から頂点への直線は中線なので、角の二等分線定理から隣接2辺が等しいと分かる。

原点を任意に定め、点 $A, B, C, P$ の位置ベクトルをそれぞれ $a, b, c, p$ とする。仮定から

(a - p) + (b - p) + (c - p) = 0

であるから

p = \frac{a + b + c}{3} .

したがって $P$ は $△ A B C$ の重心である。

直線 $A P$ と辺 $B C$ の交点を $D$ とする。 $P$ は重心なので $A P$ は中線であり、 $B D = D C$ である。一方、 $P$ は内心なので $A P$ は $∠ A$ の二等分線である。角の二等分線の性質により

\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C} = 1

となるから、 $A B = A C$ である。

同様に頂点 $B$ から考えると $B A = B C$ を得る。ゆえに

A B = B C = C A

であり、 $△ A B C$ は正三角形である。