問題
，は自然数でとする．穴のあいた個の白玉と個の黒玉にひもを通して輪を作る．このとき適当な2箇所でひもを切って個ずつの2組に分け，どちらの組も白玉個，黒玉個からなるようにできることを示せ．
方針
輪の上で連続する 個の玉を1組として取り出すことを考え，その中に含まれる白玉の個数を追う。始点を1つずらすと，外れる玉と入る玉が1個ずつなので白玉数は高々1しか変わらない。また，ちょうど反対側の連続する 個は残り半分であり，白玉数は になる。ある場所で白玉が 個なら終了，そうでなければ反対側へ始点をずらす途中で離散的な中間値として を通ることを示す。
解答
輪の玉に，ある向きを決めて順に番号を付ける。番号は を法として考える。始点を とし，そこから連続する 個の玉を取り出したとき，その中に含まれる白玉の個数を とする。
始点を から にずらすと，取り出す 個の玉から1個が外れ，新しく1個が入るだけである。したがって である。また，始点を 個分ずらした連続 個の玉は，もとの 個のちょうど残りである。白玉は全部で 個だから が成り立つ。
ある について なら，その連続する 個の両端でひもを切ればよい。このとき残りの 個にも白玉は 個あり，黒玉はそれぞれ 個である。
以下，すべての で と仮定して矛盾を導く。ある で なら である。始点を から まで1つずつ動かす間，白玉数は整数値で，しかも1回に高々1しか変化しない。 より大きい値から より小さい値へ移るには，途中で必ず をとる。これは仮定に反する。
ある で の場合も，反対側では となり，同じ議論で途中に をとる場所が存在する。したがって，必ずある始点 について となる。よってその連続する 個の両端で切れば，2組はいずれも白玉 個，黒玉 個からなる。