問題
座標空間に4点，，，がある．3点，，を通る平面に関して点と対称な点をとするとき，点の座標を求めよ．
出典：京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
平面に関する対称点は，点から平面へ下ろした垂線の足を中点として求める。まず を通る平面の法線ベクトルを， と に垂直なベクトルとして見つける。この平面は と簡単に表せるので，点 から法線方向に進んで平面との交点 を求め， が の中点であることから を出す。
解答
である。ベクトル は を満たすので，平面 の法線ベクトルにとれる。点 を通るから，平面の方程式は すなわち である。
点 からこの平面へ下ろした垂線は，法線方向 を用いて と表せる。平面との交点を とすると だから である。したがって である。
点 は と平面 に関して対称であり， は線分 の中点である。よって である。したがって である。
別解。平面 の法線ベクトルを とする。点 に対して であるから，反射点は法線方向に だけ戻した点である。したがって となり，同じ答を得る。