問題
放物線と2直線，は1点で交わるという．このとき実数の値を求めよ．
出典：京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
3つのグラフが1点で交わるとは，まず2直線が共有する点をもち，その点が放物線 上にもあるということである。 では2直線が平行になって共有点をもたないので先に除く。 のもとで2直線の交点の 座標を で表し，その点が と の両方を満たす条件を整理する。最後に得られた候補が でないことを確認する。
解答
のとき， となり，2直線は平行で交わらない。したがって条件を満たさない。
以下， とする。2直線 の交点の 座標は より である。この交点が放物線 上にもあるためには，交点の 座標について が成り立てばよい。ここに を代入する。まず であるから，条件は である。 より両辺に を掛けて を得る。左辺を展開すると すなわち である。これは と因数分解できる。したがって である。いずれも ではなく，実際に2直線は交点をもち，その交点は放物線上にある。よって求める値は である。