京都大学 2005年度
理系数学 第5問

解答

(1)

共有点の $x$ 座標は $\cos x=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ を満たす。区間は $2k\pi \leqq x\leqq (2k+1)\pi$ であり，$k$ は正の整数である。 $u=\frac{x}{2}-k\pi$ とおくと $0\leqq u\leqq \frac{\pi }{2},x=2k\pi +2u$ である。右端 $u=\pi /2$，すなわち $x=(2k+1)\pi$ では $\cos x=-1$ である一方，$\frac{1-x^2}{1+x^2}>-1$ なので共有点にはならない。したがって，解を探す範囲は $0\leqq u<\frac{\pi }{2}$ でよい。

半角公式 $\cos x=\frac{1-{\tan }^2(x/2)}{1+{\tan }^2(x/2)}$ を用いる。この区間では $x/2=k\pi +u$ なので $\tan \frac{x}{2}=\tan u\geqq 0$ である。共有点条件は $\frac{1-{\tan }^{2}u}{1+{\tan }^{2}u}=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ であるから，整理すると ${\tan }^{2}u=x^2$ である。$\tan u\geqq 0$ かつ $x>0$ より，これは $\tan u=x=2k\pi +2u$ と同値である。

そこで $h(u)=\tan u-2u$ とおく。$u=0$ では $h(0)=0<2k\pi$ であり，$u\to \pi /2-0$ のとき $h(u)\to +\infty$ である。したがって，中間値の考え方により $h(u)=2k\pi$ を満たす $u$ が存在する。よって $C_1$ と $C_2$ は共有点をもつ。

その共有点の $x$ 座標を $x_0$ とする。上の同値変形より $\tan \frac{x_0}{2}=x_0$ である。したがって半角公式から $\sin x_0=\frac{2\tan (x_0/2)}{1+{\tan }^2(x_0/2)}=\frac{2x_0}{1+x_0^2}$ である。また共有点なので $\cos x_0=\frac{1-x_0^2}{1+x_0^2}$ である。

曲線 $C_1:y=\cos x$ の $x=x_0$ における接線は $y=\cos x_0-\sin x_0(X-x_0)$ である。ここで $X=0$ を代入すると

である。したがって，この接線は点 $(0,1)$ を通る。

(2)

(1)より，共有点の個数は $h(u)=2k\pi \left(0\leqq u<\frac{\pi }{2}\right)$ の解の個数と等しい。ただし $h(u)=\tan u-2u$ である。

微分すると $h^{\prime }(u)=\frac{1}{{\cos }^{2}u}-2$ である。$0\leqq u<\pi /4$ では ${\cos }^{2}u>1/2$ なので $h^{\prime }(u)<0$ である。また $u=\pi /4$ では $h^{\prime }(u)=0$ である。したがって $0\leqq u\leqq \pi /4$ では $h(u)\leqq h(0)=0<2k\pi$ であり，この範囲に解はない。

一方，$\pi /4<u<\pi /2$ では ${\cos }^{2}u<1/2$ なので $h^{\prime }(u)>0$ である。よって $h(u)$ はこの区間で狭義に増加する。さらに $h\left(\frac{\pi }{4}\right)=1-\frac{\pi }{2}<2k\pi$ であり，$h(u)\to +\infty \left(u\to \frac{\pi }{2}-0\right)$ である。したがって $h(u)=2k\pi$ の解は $\pi /4<u<\pi /2$ にただ1つ存在する。

よって $C_1$ と $C_2$ の共有点はただ1つである。