京都大学 2005年度
理系数学 第4問

解答

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ である。また $a^2+ab+b^2={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2$ なので，$(a,b)\ne (0,0)$ なら正である。今回は $a^3-b^3=217\ne 0$ だから $a^2+ab+b^2>0$ であり，したがって $a-b>0$ である。 $d=a-b$ とおくと，$d$ は217の正の約数である。$217=7\cdot 31$ だから $d=1,7,31,217$ である。 $b=a-d$ とすると

である。よって $d(3a^2-3ad+d^2)=217$ を満たす整数 $a$ を調べればよい。 $d=1$ のとき $3a^2-3a+1=217$ である。すなわち $3a^2-3a-216=0$ なので $a^2-a-72=0$ である。よって $(a-9)(a+8)=0$ となり，$a=9,-8$ を得る。このとき $b=a-1$ なので $(a,b)=(9,8),(-8,-9)$ である。 $d=7$ のとき $7(3a^2-21a+49)=217$ より $3a^2-21a+49=31$ である。すなわち $a^2-7a+6=0$ だから $(a-1)(a-6)=0$ となる。よって $a=1,6$ であり，$b=a-7$ から $(a,b)=(1,-6),(6,-1)$ である。 $d=31$ のとき $31(3a^2-93a+961)=217$ より $3a^2-93a+961=7$ である。すなわち $3a^2-93a+954=0$ であり，3で割ると $a^2-31a+318=0$ である。この判別式は $31^2-4\cdot 318=-311<0$ なので整数解はない。 $d=217$ のとき $217(3a^2-651a+217^2)=217$ より $3a^2-651a+47088=0$ である。この2次式の判別式は $651^2-4\cdot 3\cdot 47088<0$ であり，整数解はない。

以上より，求める整数の組は $(a,b)=(-8,-9),(1,-6),(6,-1),(9,8)$ である。