京都大学 2005年度
理系数学 第3問

解答

条件 $\alpha +\beta +\gamma =0$ を2乗すると

である。さらに条件より ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0$ なので $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0$ を得る。

したがって，$\alpha ,\beta ,\gamma$ を3解にもつ3次方程式は $(z-\alpha )(z-\beta )(z-\gamma )=0$ であり，展開すると

だから $z^3-\alpha \beta \gamma =0$ となる。

ここで $\alpha \beta \gamma \ne 0$ であることを確認する。もし例えば $\gamma =0$ なら，$\alpha +\beta =0$ であり，さらに ${\alpha }^2+{\beta }^2=0$ である。$\beta =-\alpha$ を代入すると $2{\alpha }^2=0$ より $\alpha =0$，したがって $\beta =0$ となる。これは3つの複素数が相異なることに反する。よって $\alpha \beta \gamma \ne 0$ である。 $\rho$ を ${\rho }^3=\alpha \beta \gamma$ を満たす1つの複素数とする。また $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと，${\omega }^3=1$，$1+\omega +{\omega }^2=0$ である。方程式 $z^3=\alpha \beta \gamma$ の3つの解は $\rho ,\rho \omega ,\rho {\omega }^2$ である。

これは，複素平面上で原点からの距離が等しく，偏角が120度ずつ異なる3点である。したがって3点 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を結んで得られる三角形は正三角形である。

別解。$\gamma =-(\alpha +\beta )$ とおく。上で確認したように $\beta \ne 0$ である。条件 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0$ は ${\alpha }^2+{\beta }^2+(\alpha +\beta {)}^2=0$ すなわち ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=0$ と同値である。$z=\alpha /\beta$ とおくと $z^2+z+1=0$ であるから $z=\omega ,{\omega }^2$ のいずれかである。例えば $\alpha =\omega \beta$ なら $\gamma =-(1+\omega )\beta ={\omega }^2\beta$ であり，3点は $\beta ,\omega \beta ,{\omega }^2\beta$ である。よってやはり正三角形である。