京都大学 2005年度文系数学第5問解答・解説

問題

1から $n$ までの番号のついた $n$ 枚の札が袋に入っている．ただし $n ≧ 3$ とし，同じ番号の札はないとする．この袋から3枚の札を取り出して，札の番号を大きさの順に並べるとき，等差数列になっている確率を求めよ．

出典：京都大学 2005年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

3枚の番号を小さい順に $a, a + d, a + 2 d$ と表す。公差 $d$ は正整数で， $a + 2 d ≦ n$ が必要十分条件である。固定した $d$ に対して初項 $a$ は $1$ から $n - 2 d$ まで選べるので， $d$ の上限 $⌊(n - 1) /2 ⌋$ まで和を取る。最後に $n = 2 m$ と $n = 2 m + 1$ に分けて整理し，全事象 $_{n} C_{3}$ で割る。別解として，真ん中の番号を固定して左右に同じ距離だけ取る数え方もできる。

解答

取り出した3枚の番号を小さい順に $a, a + d, a + 2 d$ と書く。等差数列になるためには，このような正整数 $a, d$ が存在すればよい。ただし3枚は相異なるので $d ≧ 1$ であり，最大の番号が $n$ 以下でなければならないから $a + 2 d ≦ n$ である。

固定した $d$ に対して， $a$ は $1 ≦ a ≦ n - 2 d$ を満たすので $n - 2 d$ 通りある。また $n - 2 d ≧ 1$ より $1 ≦ d ≦ ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋$ である。 $n = 2 m$ のとき， $d = 1, 2, \dots, m - 1$ である。等差数列になる3枚の選び方は $\sum_{d = 1}^{m - 1} (2 m - 2 d) = 2 \sum_{d = 1}^{m - 1} (m - d) = m (m - 1)$ 通りである。全事象は $_{2 m} C_{3}$ 通りなので，求める確率は

\frac{m ( m - 1 )}{_{2 m} C _{3}} = \frac{m ( m - 1 )}{\frac{2 m ( 2 m - 1 ) ( 2 m - 2 )}{6}} = \frac{3}{2 ( 2 m - 1 )}

である。 $n = 2 m + 1$ のとき， $d = 1, 2, \dots, m$ である。等差数列になる3枚の選び方は $\sum_{d = 1}^{m} (2 m + 1 - 2 d) = m^{2}$ 通りである。全事象は $_{2 m + 1} C_{3}$ 通りなので，求める確率は

\frac{m ^{2}}{_{2 m + 1} C _{3}} = \frac{m ^{2}}{\frac{( 2 m + 1 ) ( 2 m ) ( 2 m - 1 )}{6}} = \frac{3 m}{( 2 m + 1 ) ( 2 m - 1 )}

である。

したがって

⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{2 ( 2 m - 1 )} \frac{3 m}{( 2 m + 1 ) ( 2 m - 1 )} (n = 2 m), (n = 2 m + 1)

である。

別解。真ん中の番号を固定して数えてもよい。3枚が等差数列になるとき，真ん中の番号を $j$ とすると，左右に同じ差だけ離れた番号を選ぶ。したがって，この $j$ に対する選び方は $min (j - 1, n - j)$ 通りである。よって有利な選び方は $\sum_{j = 2}^{n - 1} min (j - 1, n - j)$ 通りである。 $n = 2 m$ ではこの和は $(1 + 2 + \dots + (m - 1)) + ((m - 1) + \dots + 2 + 1) = m (m - 1)$ であり， $n = 2 m + 1$ では $(1 + 2 + \dots + m) + ((m - 1) + \dots + 2 + 1) = m^{2}$ である。これは上の結果と一致する。

京都大学 2005年度文系数学 第5問

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文系数学第5問