問題
，は0でない相異なる複素数で，を満たすとする．このとき，0，，の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．(ただし，複素数に対し，はに共役な複素数である．また，複素平面を複素数平面ともいう．)
出典：京都大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
と置くと，条件は ，すなわち の実部が1であることを表す。したがって と書ける。 なので であり， となる。複素数に を掛ける操作は90度回転なので，点 から見た2辺 と が垂直であることを示せばよい。
解答
とおく。 なので，これは定義できる。また であるから，条件は と書ける。
任意の複素数 について， は実部の2倍である。したがって であり，ある実数 を用いて と書ける。もし なら ，すなわち となり， と が相異なることに反する。よって である。 だから である。したがって を得る。
複素平面上で，点 を頂点として見ると，点 へ向かうベクトルは であり，点 へ向かうベクトルは である。 は を90度回転した複素数であり，実数倍しても向きは同じ直線上にある。したがって と は垂直である。
また なので であり，三角形は退化しない。よって，3点 を結んで得られる三角形は，点 に対応する頂点を直角とする直角三角形である。