京都大学 2005年度文系数学第4問解答・解説

問題

$a^{3} - b^{3} = 65$ を満たす整数の組 $(a, b)$ をすべて求めよ．

出典：京都大学 2005年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

差の3乗を $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ と因数分解する。 $a^{2} + ab + b^{2}$ は $(a, b) \neq = (0, 0)$ で正なので，右辺が正の65になるには $d = a - b$ が65の正の約数でなければならない。 $b = a - d$ とおいて $d (3 a^{2} - 3 a d + d^{2}) = 65$ に直し， $d = 1, 5, 13, 65$ の各場合を判別式または直接計算で調べる。

解答

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ である。また $a^{2} + ab + b^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{3}{4} b^{2}$ なので， $(a, b) \neq = (0, 0)$ なら $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ である。今回は $a^{3} - b^{3} = 65 \neq = 0$ だから $(a, b) \neq = (0, 0)$ であり，したがって $a - b > 0$ である。 $d = a - b$ とおくと， $d$ は65の正の約数である。よって $d = 1, 5, 13, 65$ のいずれかである。 $b = a - d$ とすると

a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + a (a - d) + (a - d)^{2} = 3 a^{2} - 3 a d + d^{2}

である。したがって $d (3 a^{2} - 3 a d + d^{2}) = 65$ を満たす整数 $a$ を調べればよい。 $d = 1$ のとき $3 a^{2} - 3 a + 1 = 65$ すなわち $3 a^{2} - 3 a - 64 = 0$ である。この判別式は $(- 3)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64) = 777$ で，平方数ではないので整数解はない。 $d = 5$ のとき $5 (3 a^{2} - 15 a + 25) = 65$ より $3 a^{2} - 15 a + 25 = 13$ である。すなわち $a^{2} - 5 a + 4 = 0$ だから $(a - 1) (a - 4) = 0$ となる。よって $a = 1, 4$ である。このとき $b = a - 5$ なので $(a, b) = (1, - 4), (4, - 1)$ を得る。 $d = 13$ のとき $13 (3 a^{2} - 39 a + 169) = 65$ より $3 a^{2} - 39 a + 169 = 5$ である。すなわち $3 a^{2} - 39 a + 164 = 0$ であり，判別式は $3 9^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 164 = - 447 < 0$ なので実数解をもたない。 $d = 65$ のときは $65 (3 a^{2} - 195 a + 4225) = 65$ より $3 a^{2} - 195 a + 4224 = 0$ である。判別式は $19 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4224 = - 12663 < 0$ なので実数解をもたない。

以上より，求める整数の組は $(a, b) = (1, - 4), (4, - 1)$ である。

京都大学 2005年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2005年度
文系数学第4問