問題
4チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべてで，各回の勝敗は独立に決まるものとする．勝ち数の多い順に順位をつけ，勝ち数が同じであればそれらは同順位とする．1位のチーム数の期待値を求めよ．
方針
全6試合の勝敗は同確率なので、まず勝敗表を勝数の型で分類する。3勝チームがいる場合といない場合に分け、 型だけを別に数える。検算として、1チームが首位になる確率から期待値を求める別解も使える。
解答
4チームを区別して考える。総試合数は であり、各試合の勝敗は独立に2通りだから、全体の場合の数は である。
まず、3勝0敗のチームがいる場合を数える。3勝するチームを1つ選ぶ方法が4通りあり、そのチームが関わる3試合の勝敗はすべて決まる。残り3チーム同士の試合は3試合あり、これは自由に決められるので 通りである。したがってこの場合は 通りであり、首位は3勝した1チームだけである。
次に、3勝チームがいない場合を考える。このとき最大勝数は2である。
勝数の型が となる場合は、0勝のチームを選ぶ方法が4通りある。そのチームは他の3チーム全員に負け、残り3チーム同士は全員が2勝になるために、3チームの間で勝敗が循環していなければならない。循環の向きは2通りなので、この型は 通りであり、首位は2勝の3チームである。
3勝チームがいない残りの場合の数は 通りである。このとき勝数の合計は試合数と同じ6で、最大勝数が2、かつ ではないので、勝数の型は である。したがって首位は2勝の2チームである。
よって、首位チーム数の期待値は
別解。期待値の線形性を使って数えることもできる。ある特定のチームを とし、 が1位に含まれる場合の数を数える。 が3勝する場合、 の試合はすべて決まり、残り3試合は自由だから 通りである。 が2勝1敗の場合、 に勝つチームを1つ選ぶ方法が3通りある。そのチームを とする。残り3チーム同士の試合は3試合で一見 通りだが、 が残り2チームにも勝つと は3勝となり、 は1位ではなくなる。除くべき場合は、残り2チーム同士の試合だけが自由な 通りである。したがって、 が2勝で1位に含まれる場合は 通りである。 が1勝以下の場合は、他のチームの中に少なくとも2勝以上のチームが出るため、 は1位になれない。よって が1位に含まれる場合は 通りである。したがって1位チーム数の期待値は であり、同じ答えを得る。