京都大学 2003年度文系数学第1問解答・解説

問題

$\frac{23}{111}$ を $0. a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \dots$ のように小数で表す．すなわち小数第 $k$ 位の数を $a_{k}$ とする．このとき $k = 1 \sum n \frac{a _{k}}{3 ^{k}}$ を求めよ．

出典：京都大学 2003年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

まず割り算で循環小数の周期を確定し、 $a_{3 j + 1}, a_{3 j + 2}, a_{3 j + 3}$ の形に直す。3桁1ブロックの寄与と次ブロックへの倍率を求め、最後に $n$ を3で割った余りごとに残り桁を加える。

解答

$111$ で割り算をすると $\frac{23}{111} = 0.207207 \dots = 0. \overline{207}$ である。したがって桁は $a_{3 j + 1} = 2, a_{3 j + 2} = 0, a_{3 j + 3} = 7 (j = 0, 1, 2, \dots)$ と周期3で繰り返す。

まず $n = 3 m$ のとき、3桁を1ブロックとしてまとめると

k = 1 \sum 3 m \frac{a _{k}}{3 ^{k}} = j = 0 \sum m - 1 (\frac{2}{3 ^{3 j + 1}} + \frac{0}{3 ^{3 j + 2}} + \frac{7}{3 ^{3 j + 3}}) = j = 0 \sum m - 1 \frac{25}{3 ^{3 j + 3}} = \frac{25}{27} \cdot \frac{1 - ( 1/27 ) ^{m}}{1 - 1/27} = \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}) .

ここで、1ブロックの寄与は $\frac{2}{3} + \frac{7}{27} = \frac{25}{27}$ であり、次のブロックに移るたびに全体が $1/27$ 倍になる。

残りの桁がある場合を加える。 $n = 3 m + 1$ のときは、最初の $3 m$ 桁に次の桁 $2$ だけが加わるから

k = 1 \sum 3 m + 1 \frac{a _{k}}{3 ^{k}} = \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}) + \frac{2}{3 ^{3 m + 1}} .

また $n = 3 m + 2$ のときは、その次の桁が $0$ なので値は同じで

k = 1 \sum 3 m + 2 \frac{a _{k}}{3 ^{k}} = \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}) + \frac{2}{3 ^{3 m + 1}} .

よって答えは

⎩ ⎨ ⎧ \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}), \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}) + \frac{2}{3 ^{3 m + 1}}, \frac{25}{26} (1 - \frac{1}{2 7 ^{m}}) + \frac{2}{3 ^{3 m + 1}}, n = 3 m, n = 3 m + 1, n = 3 m + 2.

ただし第1式では $m ≧ 1$ 、第2・第3式では $m ≧ 0$ とする。

京都大学 2003年度文系数学 第1問

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文系数学第1問