京都大学 2003年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，放物線 $C : y = x^{2} + x$ と，直線 $l : y = k x + k - 1$ を考える．このとき次の問に答えよ．

(1) 放物線 $C$ と直線 $l$ が相異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求めよ．

(2) 放物線 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を $P$ ， $Q$ とし，線分 $P Q$ の長さを $L$ ，線分 $P Q$ と放物線とで囲まれる部分の面積を $S$ とする． $k$ が(1)で定まる範囲を動くとき， $\frac{S}{L ^{3}}$ の値のとりうる範囲を求めよ．

出典：京都大学 2003年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

交点の個数は、直線と放物線を連立して得られる2次方程式の判別式で調べる。面積は2根の差で表し、線分の長さも同じ2根の差で表すと、比 $S / L^{3}$ では根の差が消える。最後に $k$ の許される範囲と端点を確認する。

解答

直線と放物線の交点の $x$ 座標は $x^{2} + x = k x + k - 1$ すなわち $x^{2} + (1 - k) x - (k - 1) = 0$ の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると

D = (1 - k)^{2} + 4 (k - 1) = k^{2} + 2 k - 3 = (k - 1) (k + 3) .

相異なる2点で交わるための条件は $D > 0$ であるから、 $k < - 3 または k > 1$ である。

次に、この条件のもとで2つの交点の $x$ 座標を $α < β$ とおく。区間 $[α, β]$ では直線が放物線の上にあるので、囲まれる面積 $S$ は $S = \int_{α}^{β} {k x + k - 1 - (x^{2} + x)} d x$ である。ここで2次方程式の根が $α, β$ であることから $k x + k - 1 - (x^{2} + x) = - (x - α) (x - β) = (x - α) (β - x) .$ よって

S = \int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x = \int_{0}^{β - α} t {(β - α) - t} d t = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} .

一方、交点を結ぶ線分は直線 $y = k x + k - 1$ 上にあるので、 $x$ 座標の差を $β - α$ とすると、 $y$ 座標の差は $k (β - α)$ である。したがって $L = (β - α) 1 + k^{2} .$ 従って

\frac{S}{L ^{3}} = \frac{( β - α ) ^{3} /6}{( β - α ) ^{3} ( 1 + k ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{1}{6 ( 1 + k ^{2} ) ^{3/2}} .

ここで $k < - 3$ または $k > 1$ である。関数 $\frac{1}{6 ( 1 + k ^{2} ) ^{3/2}}$ は $∣ k ∣$ が小さいほど大きいので、許される範囲では $k \to 1 + 0$ のとき最大値に近づく。ただし $k = 1$ は交点が2点でないため含まれない。よって値域は $0 < \frac{S}{L ^{3}} < \frac{1}{12 2} .$ 下限 $0$ は $∣ k ∣ \to \infty$ で近づくだけで、これも実際には取らない。

京都大学 2003年度文系数学 第2問

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