京都大学 2002年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

半径1、高さ1、下底中心が原点の直円柱で、 $P, Q$ は $A (1, 0, 1), B (0, 1, 0)$ から上底・下底の周上を同方向に、 $P Q$ の長さを保って1回転する。線分 $P Q$ の通過曲面と上下底で囲まれる体積を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

初期状態で上下の点の偏角差は90度である。長さを一定にして同方向へ動くのでこの差を保ち、回転角を $u$ として両端を表す。高さ $z$ における線分上の点の軌跡は円になり、その半径の二乗を積分する。

回転角を $u$ とすると

P = (cos u, sin u, 1), Q = (- sin u, cos u, 0)

と表せる。実際、上下の点の偏角差は常に $π /2$ であり、 $P Q^{2} = 1 + 2 = 3$ は一定である。

線分 $P Q$ 上で高さが $z$ の点は

X = (1 - z) Q + z P

である。その水平座標は

(x, y) = (z cos u - (1 - z) sin u, z sin u + (1 - z) cos u)

だから

x^{2} + y^{2} = z^{2} + (1 - z)^{2} .

したがって高さ $z$ の断面は半径 $z^{2} + (1 - z)^{2}$ の円板である。求める体積は

V = π \int_{0}^{1} {z^{2} + (1 - z)^{2}} d z = \frac{2 π}{3} .