京都大学 2002年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$4 y + x ≦ 10, y ≧ x, y + 4 x ≧ - 5$ が定める領域 $D$ 上で、 $F = - 2 (x^{3} + y^{3}) + 3 (x^{2} + y^{2}) - 6 x y (x + y - 1) + 12 (x + y) - 5$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

$s = x + y, p = x y$ と置いて対称式を整理すると、 $p$ の項がすべて消えて $F$ は $s$ だけの3次式になる。三角形領域 $D$ 上で一次式 $s = x + y$ が取る範囲を頂点から決め、その閉区間で3次関数を最大・最小化する。

$s = x + y, p = x y$ とおく。 $x^{3} + y^{3} = s^{3} - 3 p s$ , $x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$ を代入すると

F = - 2 s^{3} + 3 s^{2} + 12 s - 5.

領域 $D$ は3直線で囲まれる三角形で、その頂点は

(2, 2), (- 2, 3), (- 1, - 1)

である。したがって一次式 $s = x + y$ の範囲は

- 2 ≦ s ≦ 4.

$H (s) = - 2 s^{3} + 3 s^{2} + 12 s - 5$ とおくと

H^{'} (s) = - 6 (s - 2) (s + 1) .

端点と停留点での値は

H (- 2) = - 1, H (- 1) = - 12, H (2) = 15, H (4) = - 37.

よって最大値は $15$ 、最小値は $- 37$ である。