京都大学 2002年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$z_{1} = i / 3$ 、 $0 < ar g z_{n + 1} < ar g z_{n} < 36 0^{\circ}$ とする。 $A$ を1の点、 $M_{n}$ を $A P_{n}$ の中点とし、 $△ O P_{n} P_{n + 1} \sim △ O M_{n} A$ （記載順に対応）であるとき、 $∣ z_{n} ∣$ の最大値を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

相似の対応から、原点を基準にした二つの辺の複素数比を等置して $z_{n + 1} = 2 z_{n} / (1 + z_{n})$ を得る。逆数 $w_{n} = 1/ z_{n}$ を取ると一次漸化式になり、 $∣ z_{n} ∣$ の最大化は離散値 $2^{1 - n}$ に対する二次式の最小化へ変わる。

解答

$M_{n}$ を表す複素数は $(1 + z_{n}) /2$ である。相似の対応と偏角の減少する向きから

\frac{z _{n}}{( 1 + z _{n} ) /2} = \frac{z _{n + 1}}{1}, z_{n + 1} = \frac{2 z _{n}}{1 + z _{n}} .

$w_{n} = 1/ z_{n}$ とおくと

w_{n + 1} = \frac{w _{n} + 1}{2}, w_{1} = - 3 i .

したがって

w_{n} = 1 - \frac{1 + 3 i}{2 ^{n - 1}}, z_{n} = \frac{1}{1 - 2 ^{1 - n} ( 1 + 3 i )} .

$t = 2^{1 - n}$ とおけば

∣ z_{n} ∣^{- 2} = (1 - t)^{2} + 3 t^{2} = 1 - 2 t + 4 t^{2} = 4 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{3}{4} .

許される $t = 1, 1/2, 1/4, \dots$ の中に $1/4$ があり、これは $n = 3$ に対応する。よって

n max ∣ z_{n} ∣ = \frac{1}{3/4} = \frac{2}{3} .

京都大学 2002年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2002年度
後期・文系数学後期第4問