問題
，は自然数では定数とする．平面上の点を頂点とし，原点と点を通る放物線を考える．この放物線と軸で囲まれる領域の面積を，この領域の内部および境界線上にある格子点の数をとする．このとき極限値を求めよ．ただし平面上の格子点とはその点の座標と座標がともに整数となる点のことである．
出典：京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
頂点と2つの 軸上の交点から放物線の式を決め、まず面積 を積分で求める。格子点数は、整数 ごとに縦方向の整数 の個数を数えて和にする。整数部分を外したときの誤差は、 の個数が固定されているため によらず有界であり、 の比では消える。
解答
放物線は原点と を通り、頂点が である。したがって と書ける。整理すると である。
まず面積を求める。 であるから である。
次に格子点数を数える。 座標が整数で領域内にあるには である。各整数 に対して、 座標は を満たす整数であるから、その個数は である。したがって
である。
ここで任意の実数 について である。和の項数は 個で、 は固定された定数なので、ある によらない有界な量 を用いて と書ける。
和を計算する。 である。ここで
だから である。よって と書ける。ただし は有界である。
したがって であり、 で となるから
である。