問題
四面体の辺上に点，辺上に点，辺上に点，辺上に点をとる．これらの4点をこの順序で結んで得られる図形が平行四辺形となるとき，この平行四辺形の2つの対角線の交点は2つの線分とのそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ．
出典：京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
四面体の1頂点 を原点にして、 の位置ベクトルを基準にする。各辺上の点 を1つずつパラメータ表示し、平行四辺形の条件を「対角線の中点が一致する」こと、すなわち として係数比較する。最後に対角線の交点を、線分 の中点と線分 の中点の内分点として表す。
解答
を原点とし、
とおく。四面体であるから、 は同一平面上にない3つの方向を表し、係数比較ができる。
点 はそれぞれ辺 上にあるので、適当な実数 を用いて かつ と書ける。 が平行四辺形であるから、その2本の対角線 と は互いに中点で交わる。したがって
である。これに上の表示を代入すると である。 の係数を比較して を得る。特に、最初の2式から である。
対角線の交点を とする。 は の中点でもあるから
である。 を用いると である。
ここで は線分 の中点の位置ベクトルであり、 は線分 の中点の位置ベクトルである。また なので、上の式は がこの2つの中点を結ぶ線分上の点であることを示している。よって題意は示された。