京都大学 1998年度
文系数学 第4問

解答

点 $A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$ を通る直線の傾きは $\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$ である。したがって直線 $AB$ の方程式は $y-a^2=(a+b)(x-a)$ すなわち $y=(a+b)x-ab$ である。 $a\leqq x\leqq b$ では、直線 $AB$ と放物線 $y=x^2$ の縦方向の差は $(a+b)x-ab-x^2=(x-a)(b-x)$ である。よって、線分 $AB$ と放物線で囲まれた図形の面積は $s={\int }_a^b(x-a)(b-x)dx$ である。$u=x-a$ とおくと $b-x=(b-a)-u$ なので $s={\int }_0^{b-a}u\{(b-a)-u\}du$

である。

次に点 $P(t,t^2)$ をとる。直線 $AB$ と点 $P$ との縦方向の差は $(a+b)t-ab-t^2=(t-a)(b-t)$ である。直線 $AB$ の傾きは $a+b$ だから、点 $P$ から直線 $AB$ までの距離は $\frac{(t-a)(b-t)}{\sqrt{1+(a+b{)}^2}}$ である。また $AB=(b-a)\sqrt{1+(a+b{)}^2}$ である。したがって三角形 $ABP$ の面積は

すなわち $S(P)=\frac{1}{2}(b-a)(t-a)(b-t)$ である。 $a<t<b$ において、積 $(t-a)(b-t)$ は $(t-a)(b-t)=-{\left(t-\frac{a+b}{2}\right)}^2+\frac{(b-a{)}^2}{4}$ と書けるので、$t=(a+b)/2$ のとき最大値 $(b-a{)}^2/4$ をとる。よって $S=\frac{1}{2}(b-a)\cdot \frac{(b-a{)}^2}{4}=\frac{(b-a{)}^3}{8}$ である。

したがって $s:S=\frac{(b-a{)}^3}{6}:\frac{(b-a{)}^3}{8}=4:3$ である。

別解。放物線と弦の間の縦差 $(x-a)(b-x)$ は、区間中央に関して対称な二次関数である。三角形 $ABP$ の面積は、その縦差の最大値に $(b-a)/2$ をかけたものになり、囲まれた面積 $s$ は同じ二次関数の区間全体の積分になる。したがって、$u=(x-a)/(b-a)$ と正規化すれば、比は ${\int }_0^{1}u(1-u)du:\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}:\frac{1}{8}=4:3$ として、$a,b$ によらず求められる。