問題
一辺の長さが1の正四面体の辺上に点をとり，線分の長さをとする．
(1) 三角形の面積をで表せ．
(2) が辺上を動くとき三角形の面積の最小値を求めよ．
出典：京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
正四面体を座標空間に置き、辺 上の点 を によって内分表示する。 を座標軸に取ると、三角形 の底辺 は長さ1で、面積は点 から直線 までの距離の半分になる。距離の2乗を の二次式にして平方完成し、最小値を求める。
解答
(1)
正四面体の一辺の長さは1である。座標を
とおく。このとき はすべて長さ1である。
点 は辺 上にあり、 である。 だから であり、 と表せる。したがって である。
直線 は 軸である。よって点 から直線 までの距離の2乗は、 の第2、第3座標の2乗和で である。これを整理すると
となる。底辺 の長さは1なので、三角形 の面積は である。
(2)
である。 において右辺は のとき最小となり、その最小値は である。したがって三角形 の面積の最小値は である。