京都大学 1998年度
文系数学 第3問

解答

与えられた式が定義されるためには $x\ne \pm a,x\ne \pm b$ でなければならない。

左辺の2項をまとめると

である。また右辺は

である。したがって「左辺 $>$ 右辺」は $\frac{a^2-b^2}{(x+a)(x+b)}+\frac{a^2-b^2}{(x-b)(x-a)}>0$ と同値である。通分すると $(a^2-b^2)\frac{(x-b)(x-a)+(x+a)(x+b)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}>0$ であり、分子の和は $(x-b)(x-a)+(x+a)(x+b)=2(x^2+ab)$ である。よって求める不等式は $\frac{2(a^2-b^2)(x^2+ab)}{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}>0$ と同値である。

まず $|a|=|b|$ の場合を調べる。$a\ne b$ なのでこの場合は $a=-b$ であり、$a^2-b^2=0$ となる。すると両辺の差は常に $0$ で、厳密な不等式は成り立たない。したがって解はない。

以下、$|a|\ne |b|$ とする。$y=x^2$ とおくと $y\geqq 0$ であり、符号を調べるべき式は $\frac{(a^2-b^2)(y+ab)}{(y-a^2)(y-b^2)}$ である。

(i)

$|a|>|b|,ab>0$ のとき。このとき $a^2-b^2>0$、また $y+ab>0$ である。したがって $(y-a^2)(y-b^2)>0$ が必要十分である。$b^2<a^2$ なので $y<b^2\text{または}{a}^2<y$ である。すなわち $x^2<b^2\text{または}{a}^2<x^2$ である。

(ii)

$|a|>|b|,ab<0$ のとき。 $h=-ab$ とおくと $h>0$ で、$|a|>|b|$ より $b^2<h<a^2$ である。符号を $y$ の区間で調べると、正になるのは $b^2<y<h\text{または}{a}^2<y$ である。したがって $b^2<x^2<-ab\text{または}{a}^2<x^2$ である。

(iii)

$|a|<|b|,ab>0$ のとき。このとき $a^2-b^2<0$、また $y+ab>0$ である。よって分母が負であればよい。$a^2<b^2$ だから $a^2<y<b^2$ であり、$a^2<x^2<b^2$ である。

(iv)

$|a|<|b|,ab<0$ のとき。 $h=-ab$ とおくと、今度は $a^2<h<b^2$ である。符号を調べると正になるのは $y<a^2\text{または}h<y<b^2$ である。したがって $x^2<a^2\text{または}-ab<x^2<b^2$ である。

以上が求める範囲である。すべての不等号は厳密であり、$x=\pm a,\pm b$ はもともと定義域から除かれている。