京都大学 1997年度
理系数学 第6問

解答

(1)

曲線$y=\cos x$の$x=t$における接線は $y-\cos t=-\sin t(x-t)$ である。すなわち $y=-x\sin t+\cos t+t\sin t$ である。 $0<t<\pi /2$では$\sin t>0$, $\cos t>0$である。この接線の$y$軸との交点の$y$座標は $\cos t+t\sin t$ であり、$x$軸との交点は $0=-x\sin t+\cos t+t\sin t$ より $x=t+\cot t$ である。したがって、囲まれる三角形の面積は $S(t)=\frac{1}{2}(t+\cot t)(\cos t+t\sin t)$ である。$t+\cot t=(\cos t+t\sin t)/\sin t$なので $S(t)=\frac{(\cos t+t\sin t{)}^2}{2\sin t}$ とも書ける。

(2)

$B=\cos t+t\sin t$ とおくと $S(t)=\frac{B^2}{2\sin t},B^{\prime }=t\cos t$ である。微分すると

ここで$B>0$, $\cos t>0$, $\sin t>0$なので、$S^{\prime }(t)$の符号は $t\sin t-\cos t$ の符号と一致する。すなわち、$S^{\prime }(t)$の符号は $t\tan t-1$ の符号と一致する。

関数$t\tan t$は$(0,\pi /2)$で単調増加する。実際、微分すると $(t\tan t{)}^{\prime }=\tan t+\frac{t}{{\cos }^{2}t}>0$ である。また ${\lim }_{t\to +0}t\tan t=0,{\lim }_{t\to \pi /2-0}t\tan t=+\infty$ である。したがって $t\tan t=1$ を満たす$t_0$がただ1つ存在する。 $0<t<t_0$では$t\tan t<1$なので$S^{\prime }(t)<0$、$t_0<t<\pi /2$では$t\tan t>1$なので$S^{\prime }(t)>0$である。よって$S(t)$は$t=t_0$でただ1つの最小値をとる。

さらに $\frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}<1$ であるから、単調性より $\frac{\pi }{4}<t_0$ である。また$1>\pi /4$なので$\tan 1>\tan (\pi /4)=1$であり $1\cdot \tan 1>1$ である。したがって $t_0<1$ である。以上より $\frac{\pi }{4}<t_0<1$ である。

(3)

最小条件より $t_0\tan t_0=1$ である。したがって $t_0\sin t_0=\cos t_0$ である。これを$S(t)$の式に代入すると $\cos t_0+t_0\sin t_0=2\cos t_0$ なので $S(t_0)=\frac{(2\cos t_0{)}^2}{2\sin t_0}=\frac{2{\cos }^2{t}_0}{\sin t_0}.$ また$t_0\sin t_0=\cos t_0$より$\cos t_0/\sin t_0=t_0$であるから $S(t_0)=2t_0\cos t_0$ である。

次に$S(t_0)>\sqrt{2}\pi /4$を示す。関数$t\cos t$を微分すると $(t\cos t{)}^{\prime }=\cos t-t\sin t=\cos t(1-t\tan t)$ である。$0<t<t_0$では$t\tan t<1$だから $(t\cos t{)}^{\prime }>0$ である。よって$t\cos t$は$(0,t_0)$で増加する。すでに$\pi /4<t_0$を示したので $t_0\cos t_0>\frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}\pi }{8}$ である。したがって $S(t_0)=2t_0\cos t_0>\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$ が成り立つ。