京都大学 1997年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$h=k-1$ とおく。2つの放物線の交点は $x^2+1=k{x}^2$ より $1=h{x}^2,x=\pm \frac{1}{\sqrt{h}}$ である。囲まれた部分の面積を$T$とすると

点$P(a,a^2+1)$における放物線$y=x^2+1$の接線は $y=2ax-a^2+1$ である。この接線と下側の放物線$y=k{x}^2$との差は $(2ax-a^2+1)-k{x}^2=-k{x}^2+2ax-a^2+1$ である。平方完成すると

である。

ここで $D=k-a^2(k-1)$ とおく。接線と下側の放物線の間の面積は、上の式が正である範囲で $\int \left\{\frac{D}{k}-k{\left(x-\frac{a}{k}\right)}^2\right\}dx$ を計算すればよい。正である範囲は $\left|x-\frac{a}{k}\right|<\frac{\sqrt{D}}{k}$ なので

接線が面積を2等分するので、この面積は$T/2$に等しい。したがって $\frac{4D^{3/2}}{3k^2}=\frac{2}{3\sqrt{k-1}}$ である。これより $D^{3/2}=\frac{k^2}{2\sqrt{k-1}}$ となり、両辺を$2/3$乗して $D=k\sqrt[3]{\frac{k}{4(k-1)}}$ を得る。$D=k-a^2(k-1)$であるから

である。なお、実際にこのような接線が存在する場合には右辺は$a^2\geqq 0$を満たす。

(2)

(1)の式で$k\to \infty$とすると $\frac{k}{k-1}\to 1,\frac{k}{4(k-1)}\to \frac{1}{4}$ である。したがって ${\lim }_{k\to \infty }{a}^2=1-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=1-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ である。