京都大学 1997年度理系数学第4問解答・解説

問題

(1) $0 ≦ α < β ≦ \frac{π}{2}$ であるとき，次の不等式を示せ．

\int_{α}^{β} sin x d x + \int_{π - β}^{π - α} sin x d x > (β - α) (sin α + sin (π - β))

(2) $k = 1 \sum 7 sin \frac{k π}{8} < \frac{16}{π}$ を示せ．

出典：京都大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1)は、 $sin (π - x) = sin x$ により左辺を $2 \int_{α}^{β} sin x d x$ へ直し、区間の中点 $m$ を中心に対称な2点の正弦和を比較する。 $x = m + u$ と $m - u$ を組にすると、 $sin (m + u) + sin (m - u) = 2 sin m cos u$ であり、端点より内部の方が $cos u$ が大きいことから厳密な不等式が出る。(2)では幅 $h = π /8$ の区間 $[0, h], [h, 2 h], [2 h, 3 h], [3 h, 4 h]$ に(1)を適用し、対称な積分区間が $[0, π]$ 全体を覆うことを使って三角和を上から押さえる。

解答

(1)

まず $\int_{π - β}^{π - α} sin x d x = \int_{α}^{β} sin x d x$ である。実際、 $u = π - x$ と置けば $sin x = sin u$ であり、積分区間が $[α, β]$ に移る。

したがって、示すべき不等式は $2 \int_{α}^{β} sin x d x > (β - α) (sin α + sin β)$ と同じである。

ここで $m = \frac{α + β}{2}, d = \frac{β - α}{2}$ とおく。 $0 ≦ α < β ≦ π /2$ より $0 < d ≦ π /4$ である。 $x = m + u$ とすると $2 \int_{α}^{β} sin x d x = \int_{- d}^{d} {sin (m + u) + sin (m - u)} d u$ である。加法定理より $sin (m + u) + sin (m - u) = 2 sin m cos u$ であり、また端点では $sin α + sin β = sin (m - d) + sin (m + d) = 2 sin m cos d$ である。 $- d < u < d$ では $cos u > cos d$ であり、 $m > 0$ なので $sin m > 0$ である。よって $sin (m + u) + sin (m - u) > sin α + sin β$ が区間内部で成り立つ。これを $- d ≦ u ≦ d$ で積分して

2 \int_{α}^{β} sin x d x > (2 d) (sin α + sin β) = (β - α) (sin α + sin β)

を得る。 $sin (π - β) = sin β$ なので、これは求める不等式である。

(2)

$h = \frac{π}{8}$ とおく。(1)を $[α, β] = [(j - 1) h, j h] (j = 1, 2, 3, 4)$ に適用する。4つの不等式の左辺を足すと

\int_{0}^{4 h} sin x d x + \int_{π - h}^{π} sin x d x + \int_{π - 2 h}^{π - h} sin x d x + \int_{π - 3 h}^{π - 2 h} sin x d x + \int_{π - 4 h}^{π - 3 h} sin x d x

となる。これは $\int_{0}^{π} sin x d x = 2$ に等しい。

一方、右辺を足すと

h {sin 0 + sin h + sin h + sin 2 h + sin 2 h + sin 3 h + sin 3 h + sin 4 h} = h {2 sin h + 2 sin 2 h + 2 sin 3 h + sin 4 h} .

ここで $h = π /8$ だから $sin 5 h = sin 3 h, sin 6 h = sin 2 h, sin 7 h = sin h$ である。したがって $2 sin h + 2 sin 2 h + 2 sin 3 h + sin 4 h = \sum_{k = 1}^{7} sin k h$ である。

(1)の不等式はすべて厳密なので、足し合わせて $2 > h \sum_{k = 1}^{7} sin k h = \frac{π}{8} \sum_{k = 1}^{7} sin \frac{k π}{8}$ を得る。ゆえに $\sum_{k = 1}^{7} sin \frac{k π}{8} < \frac{16}{π}$ である。

京都大学 1997年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1997年度
理系数学第4問