京都大学 1997年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

「ス」「ミ」「テ」のカードを復元抽出し、スとミがともに出た時点で最高5回までのゲームを終了する。その時点までのテの枚数を得点とし、5回で終了条件を満たさなければ得点0とする。得点の期待値を求めよ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

終了回 $r$ で場合分けする。最後のカードはスまたはミであり、それ以前にはもう一方とテだけが現れる。テの枚数ごとに数え、期待値を合計する。

ゲームが $r$ 回目で初めて終了する場合を考える。最後が「ミ」なら、それ以前の $r - 1$ 回には「ス」と「テ」だけが現れ、スが少なくとも1回必要である。最後が「ス」の場合も対称である。

$r - 1 = m$ とし、それ以前にテが $t$ 回出る列の個数は、最後の種類を2通り選ぶことも含めて

2_{m} C_{t} (0 ≦ t ≦ m - 1)

である。各列の確率は $3^{- r}$ で、得点は $t$ である。従って期待値は

E = r = 2 \sum 5 \frac{2}{3 ^{r}} t = 0 \sum r - 2 t_{r - 1} C_{t} .

一般に

t = 0 \sum m t_{m} C_{t} = m 2^{m - 1}

であり、除くべき $t = m$ の項は $m$ だから

t = 0 \sum m - 1 t_{m} C_{t} = m (2^{m - 1} - 1) .

よって

E = r = 2 \sum 5 \frac{2 ( r - 1 ) ( 2 ^{r - 2} - 1 )}{3 ^{r}} = 0 + \frac{4}{27} + \frac{2}{9} + \frac{56}{243} = \frac{146}{243} .

5回までに終了しない列は問題の規則により得点0なので、上の和に追加する寄与はない。