京都大学 1997年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ で $α = sin 2 A, β = sin 2 B, γ = sin 2 C$ とする．条件 $α^{2} = β^{2} + γ^{2}$ と、 $A = 4 5^{\circ}$ または $A = 13 5^{\circ}$ または $B = 9 0^{\circ}$ または $C = 9 0^{\circ}$ であることが同値であることを示せ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

$A + B + C = 18 0^{\circ}$ を使い、平方の差を積に直す恒等式で条件を3因子の積が0となる形にする。

解答

$A + B + C = 18 0^{\circ}$ だから

sin 2 A = - sin (2 B + 2 C)

である。恒等式

sin^{2} (X + Y) - sin^{2} X - sin^{2} Y = 2 sin X sin Y cos (X + Y)

に $X = 2 B, Y = 2 C$ を代入すると

α^{2} - β^{2} - γ^{2} = 2 sin 2 B sin 2 C cos (2 B + 2 C) = 2 sin 2 B sin 2 C cos 2 A .

従って

α^{2} = β^{2} + γ^{2}

であるための必要十分条件は

sin 2 B = 0, sin 2 C = 0, cos 2 A = 0

の少なくとも1つが成り立つことである。

三角形の内角は0度より大きく180度より小さいので

sin 2 B = 0 ⟺ B = 9 0^{\circ}, sin 2 C = 0 ⟺ C = 9 0^{\circ} .

また

cos 2 A = 0 ⟺ A = 4 5^{\circ} または 13 5^{\circ} .

従って2条件は互いに同値である。

京都大学 1997年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

京都大学 1997年度
後期・文系数学後期第4問