京都大学 1997年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

(1) 正整数 $m, n$ について $cos m^{\circ}, sin m^{\circ}, cos n^{\circ}, sin n^{\circ}$ がすべて有理数なら、 $cos (m + n)^{\circ}, sin (m + n)^{\circ}$ も有理数であることを示せ．

(2) $n$ が60の約数なら、 $cos n^{\circ}, sin n^{\circ}$ の少なくとも一方は無理数であることを示せ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

(1) 加法定理を使う。(2) 両方が有理数だと仮定し、(1)を繰り返して角を60度まで整数倍すると矛盾することを示す。

加法定理より

cos (m + n)^{\circ} = cos m^{\circ} cos n^{\circ} - sin m^{\circ} sin n^{\circ},

sin (m + n)^{\circ} = sin m^{\circ} cos n^{\circ} + cos m^{\circ} sin n^{\circ} .

右辺は有理数の積と和・差だけでできているので、両者とも有理数である。

$n ∣ 60$ だから $h = 60/ n$ は正整数である。もし $cos n^{\circ}, sin n^{\circ}$ がともに有理数なら、(1)を繰り返し用いることにより

cos (hn)^{\circ} = cos 6 0^{\circ}, sin (hn)^{\circ} = sin 6 0^{\circ}

もともに有理数となる。しかし

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

は無理数である。これは矛盾する。従って少なくとも一方は無理数である。