問題
2次関数 の最大値をとする．このとき，次の不等式(＊)が任意の実数，に対して成り立つような実数の中で最小のものを求めよ．
(＊)
出典：京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
一次式を係数で直接扱うより、区間の両端の値, に置き換える。最大値は、積分はとなるので、求める定数はその比の最大値である。ならとして上で分母を最小にすればよい。最後に等号を与える端点値を示し、より小さくできないことも確認する。
解答
とおく。するとは、で、でをとる一次式である。逆に、任意の実数に対して, とすればよいので、で考えても一般性を失わない。
一次式の絶対値の最大は端点で起こるから である。また より
のときは両辺とも0なので問題ない。以下、とする。 の場合を考える。であり、とおくと である。このとき
である。において だから、最小値はである。よってこの場合の比の最大値は である。 の場合も、とを入れ替えれば同じ議論により比の最大値は4である。したがって、すべてのについて が成り立つ。
一方、例えば, とすると、かつであり、上の比はちょうど4になる。したがってを4より小さくすることはできない。求める最小値は である。
別解。で十分であることは平方完成だけでも見える。のとき
である。またのときは である。等号は、例えば, で実現するので、やはり最良定数はである。