問題
面積1の3角形において，辺上に1点をとり，を通り辺に平行な直線と辺の交点をとする．さらに線分の中点に関してと対称な点をとする．点が辺上を動くとき，との共通部分の面積の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
面積比と平行性はアフィン変換で保たれるので、を扱いやすい面積1の三角形に移してよい。とおくと、の座標がすべてで表せる。が辺の上側にあるでは全体が共通部分になる。ではが下に出るので、辺との交点を求め、共通部分を台形として面積を出す。最後に2つの範囲で最大値を比較する。
解答
面積比、平行性、中点、点対称はアフィン変換で保たれる。したがって、面積が1である三角形 で考えてよい。 とおく。点は辺上をからへだけ進んだ点なので である。よりは水平で、は辺上にあるから である。線分の中点はである。これに関してと対称な点がなので である。
まず のときを考える。このときは上またはその上側にあり、はいずれも内にある。したがって共通部分は全体である。、からまでの高さはだから である。
次に のときを考える。このときは辺の下側にある。直線はとを通るので傾きはであり、方程式は である。よって, すなわちとの交点は である。同様に直線は であり、との交点は である。
したがって共通部分は、上底の長さが、下底の長さが 高さがの台形である。ゆえに である。
以上より
である。前半ではが増加するので最大値は である。後半では
であるから、で最大値 をとる。なので、求める最大値は である。