京都大学 1997年度
文系数学 第2問

解答

まず (イ) を仮定する。$n$ が$60$の倍数なら、$1,2,3,4,5,6$ はすべて$n$の約数である。また、$1$から$6$までの自然数でこれ以外に挟まる数はないから、約数を小さい順に並べると $a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5,a_6=6$ である。したがって $\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}=\frac{1}{a_2}$ となり、(ロ) が成り立つ。

次に (ロ) を仮定する。$a_2$ は$n$の$1$より大きい最小の約数である。もし$a_2$が合成数なら、その$1$より大きい真の約数も$n$を割り、$a_2$より小さい約数になってしまう。よって$a_2$は素数である。そこで $p=a_2$ とおく。

条件 $\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_6}=\frac{1}{p}$ を整理する。両辺に$p{a}_3{a}_6$を掛けて $p(a_3+a_6)=a_3{a}_6$ を得る。これを移項して $a_3{a}_6-p{a}_3-p{a}_6=0$ すなわち $(a_3-p)(a_6-p)=p^2$ である。

約数は小さい順に並んでいるので $p=a_2<a_3<a_6$ であり、したがって $0<a_3-p<a_6-p$ である。$p$は素数だから、$p^2$の正の因数の組は$(1,p^2)$または$(p,p)$である。ここでは2つの因数が等しくないので $a_3-p=1,a_6-p=p^2$ でなければならない。よって $a_3=p+1$ である。

もし$p\geqq 3$なら、$p$は奇素数であるから$p+1$は偶数である。ところが$a_3=p+1$は$n$の約数なので、$n$は偶数となり、$2$が$n$の約数になる。これは$p=a_2$が$1$より大きい最小の約数であることに反する。したがって $p=2$ である。

これより $a_2=2,(a_3-2)(a_6-2)=4$ かつ$a_3-2<a_6-2$であるから $a_3=3,a_6=6$ である。$a_4,a_5$は$3$より大きく$6$より小さい$n$の約数なので、自然数としては $a_4=4,a_5=5$ しかない。したがって$2,3,4,5$はすべて$n$の約数である。

よって$n$は $\mathrm{lcm}(2,3,4,5)=60$ の倍数である。以上により、(イ) と (ロ) は互いに同値である。