京都大学 1995年度
理系数学 第6問

解答

時刻 $t$ における水面の高さを $y$ とする。高さ $y$ での水面は半径 $f(y)$ の円であるから、その面積を $A(y)=\pi f(y{)}^2$ とおく。

高さ $y$ まで水が入っているときの水量は、水平断面積を積み重ねて ${\int }_0^{y}A(s)ds$ である。一方、単位時間あたり $V$ の割合で水を入れるので、この水量は $Vt$ に等しい。したがって $Vt={\int }_0^{y}A(s)ds$ である。

問題の条件では、その時刻の水面の面積が $Vt+\pi a^2$ である。よって $A(y)=Vt+\pi a^2={\int }_0^{y}A(s)ds+\pi a^2$ を得る。右辺は $y$ で微分できるので、$A(y)$ も微分でき、両辺を微分して $A^{\prime }(y)=A(y)$ となる。また $f(0)=a$ より $A(0)=\pi a^2$ である。 $A^{\prime }(y)=A(y)$ だから $\frac{d}{dy}\{A(y)e^{-y}\}=0$ であり、$A(y)e^{-y}$ は一定である。$y=0$ を代入して $A(y)=\pi a^2{e}^y$ を得る。したがって $\pi f(y{)}^2=\pi a^2{e}^y$ であり、$f(y)>0$ だから $f(y)=a{e}^{y/2}$ である。

満水になるまでに入る水量は ${\int }_0^h\pi a^2{e}^{y}dy=\pi a^2(e^h-1)$ である。単位時間あたりの水量が $V$ なので $T=\frac{\pi a^2(e^h-1)}{V}$ である。

別解。高さ $y$ までの水量を $W(y)={\int }_0^{y}A(s)ds$ とおくと、$W^{\prime }(y)=A(y)$ である。条件は $A(y)=W(y)+\pi a^2$ だから $W^{\prime }(y)=W(y)+\pi a^2$ となる。ここで $U(y)=W(y)+\pi a^2$ とおけば $U^{\prime }(y)=U(y),U(0)=\pi a^2$ である。よって $U(y)=\pi a^2{e}^y$、すなわち $A(y)=\pi a^2{e}^y$ となり、主解と同じく $f(y)=a{e}^{y/2}$、$T=\pi a^2(e^h-1)/V$ を得る。