京都大学 1995年度
理系数学 第2問

解答

因数分解すると $a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots +a{b}^{p-2}+b^{p-1})$ である。右辺は素数 $d$ であり、$a-b$ と第二因子はいずれも正の整数である。

ここで第二因子は正の項の和であり、$p>2$ かつ $b\geqq 1$ だから $1$ ではない。したがって素数 $d$ の積への分解として、必ず $a-b=1$ でなければならない。よって $a=b+1$ である。

このとき $d=(b+1{)}^p-b^p$ である。二項定理より

である。$p$ が素数なので、$1\leqq k\leqq p-1$ に対して ${}_p{\mathrm{C}}_k$ は $p$ で割り切れる。したがって $d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ である。

また $a$ と $b$ は連続する整数であり、$p$ は奇数である。偶奇は奇数乗しても変わらないので、$a^p$ と $b^p$ の偶奇は異なる。よって $d=a^p-b^p$ は奇数であり $d\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ である。 $p$ と $2$ は互いに素だから、$d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ かつ $d\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ より $d\equiv 1(\mathrm{mod}2p)$ である。したがって $d$ を $2p$ で割った余りは $1$ である。

別解。$a-b=1$ まで同じように示す。その後、二項定理から任意の自然数 $n$ について $(n+1{)}^p-n^p-1={\sum }_{k=1}^{p-1}{}_p{\mathrm{C}}_k{n}^k$ は $p$ で割り切れる。したがって $n^p\equiv n(\mathrm{mod}p)$ が帰納的に成り立つ。これを $a,b$ に適用すれば $d=a^p-b^p\equiv a-b\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ である。偶奇については主解と同じく $d\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ なので、結論は $d\equiv 1(\mathrm{mod}2p)$ である。