問題
平面上の2曲線
，
が相異なる3点で交わり，かつそれらの点でに接する3直線が1点で交わるとする．このとき，
(1) ，，であることを示せ．
(2) ，のみたす条件を求めよ．
出典：京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
交点の 座標を とし、 の における接線が を通る条件を作る。この三次方程式と、 の交点方程式が同じ3つの根をもつことから係数を比較する。(2)では が相異なる3実根をもつ条件を、極大値・極小値の符号で必要十分に調べる。
解答
(1)
の における接線を求める。 の微分係数は であるから、接線は すなわち である。この直線が を通る条件は であり、整理して となる。
一方、 と の交点の 座標は すなわち を満たす。交点は相異なる3点であり、 は が決まれば点も決まるので、対応する3つの 座標も相異なる。
その3つの交点での接線がすべて を通るから、上の2つの三次方程式は同じ3つの根をもつ。先頭係数をそろえると である。よって係数比較により である。
(2)
(1)より、交点の 座標は の相異なる3つの実根でなければならない。したがって、この三次方程式が相異なる3実根をもつための の条件を求めればよい。
微分すると である。
まず とする。このとき で極大、 で極小をとる。三次関数の先頭係数は正なので、相異なる3実根をもつための必要十分条件は である。実際、この条件なら 、、 にそれぞれ1つずつ根がある。計算すると だから である。
次に とする。このとき で極大、 で極小をとるので、相異なる3実根をもつための必要十分条件は である。よって すなわち である。
最後に のときは であり、相異なる3つの実根をもつことはない。
したがって求める条件は または である。