京都大学 1995年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$C : y = 1/ x$ $(x > 0)$ 、 $A = (a, 0)$ $(0 < a < 4)$ 、 $R = (4, 0)$ 、 $Q = (0, 2)$ 。 $A$ から $C$ への接線 $L_{a}$ と $y$ 軸の交点を $B$ 、 $R Q$ と $L_{a}$ の交点を $M$ とする。

(1) $M$ が第1象限にある必要十分条件。

(2) $S_{1} = [A R M], S_{2} = [B QM]$ 、 $r = S_{1} + S_{2}, m = S_{1} S_{2}$ とするとき $(r, m)$ の範囲を図示せよ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

双曲線の接点を置いて $L_{a}$ を求め、 $R Q$ との交点座標の符号を調べる。二面積を比の変数で簡単化すると、和と積の関係が消去できる。

解答

$C$ 上の接点を $(t, 1/ t)$ とすると接線は $y = - x / t^{2} + 2/ t$ で、 $x$ 切片が $2 t$ である。 $A$ を通るので $t = a /2$ 、従って

L_{a} : y = - \frac{4}{a ^{2}} x + \frac{4}{a}, B = (0, \frac{4}{a}) .

また $R Q : y = 2 - x /2$ である。(1)2直線の交点は

x_{0} = \frac{4 a ( a - 2 )}{a ^{2} - 8}, y_{0} = \frac{4 ( a - 4 )}{a ^{2} - 8} .

$0 < a < 4$ のもとで $x_{0} > 0, y_{0} > 0$ を同時に満たすのは

0 < a < 2.

(2)

この範囲で

S_{1} = \frac{( 4 - a ) y _{0}}{2} = \frac{2 ( 4 - a ) ^{2}}{8 - a ^{2}}, S_{2} = \frac{( 4/ a - 2 ) x _{0}}{2} = \frac{4 ( 2 - a ) ^{2}}{8 - a ^{2}} .

$u = (4 - a) / (2 - a)$ とおくと $u > 2$ であり

S_{1} = \frac{2 u ^{2}}{u ^{2} - 2}, S_{2} = \frac{4}{u ^{2} - 2} .

従って $S_{1} = S_{2} + 2$ である。 $s = S_{2}$ とおけば、 $u : 2 \to \infty$ に伴い $s : 2 \to 0$ なので $0 < s < 2$ である。よって

r = 2 + 2 s, m = s (s + 2) .

$s$ を消去すると

m = \frac{r ^{2} - 4}{4}, 2 < r < 6.

従って存在範囲は放物線 $m = r^{2} /4 - 1$ 上の、端点 $(2, 0), (6, 8)$ を除く弧である。

京都大学 1995年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(2)

京都大学 1995年度
後期・理系数学後期第6問