京都大学 1995年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a, b ≧ 0$ 、 $c$ は実数、 $p (x) = a x^{2} + b x + c$ 、 $q (x) = c x^{2} + b x + a$ とする。 $∣ x ∣ ≦ 1$ で常に $∣ p (x) ∣ ≦ 1$ なら、同区間で $∣ q (x) ∣ ≦ 2$ を示せ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

$q (x)$ を $p (1), p (- 1), p (0)$ の線形結合として補間表示する。前二項が凸結合、残りの係数の絶対値が1以下であることから評価する。

$p (1) = a + b + c$ 、 $p (- 1) = a - b + c$ 、 $p (0) = c$ である。これらを用いると直接展開により

q (x) = \frac{1 + x}{2} p (1) + \frac{1 - x}{2} p (- 1) - (1 - x^{2}) p (0) .

$- 1 ≦ x ≦ 1$ では $(1 + x) /2, (1 - x) /2$ は非負で和が1だから、初めの2項は $[- 1, 1]$ 内の2数の凸結合であり、その絶対値は1以下である。また

∣ (1 - x^{2}) p (0) ∣ ≦ 1 - x^{2} ≦ 1.

従って三角不等式から

∣ q (x) ∣ ≦ 1 + 1 = 2.

よって区間内のすべての $x$ で主張が成り立つ。