京都大学 1995年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

(1) 一次独立な平面ベクトル $x, y$ を列にもつ行列 $P$ が可逆であることを示せ。

(2) $B = (p c b - p)$ がスカラー行列でないとき、 $P^{- 1} B P = (01 p^{2} + b c 0)$ となる可逆 $P$ の存在を示せ。

(3) スカラー行列でない2行列 $A, A^{'}$ の跡と行列式が等しければ $P^{- 1} A P = A^{'}$ となる $P$ の存在を示せ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)を列ベクトルの一次独立性で示す。(2)は $y = B x$ と選び、 $B^{2} = (p^{2} + b c) E$ を使う。(3)は跡の半分を引いて(2)へ帰着する。

解答

(1)

$P (u v) = 0$ なら $u x + v y = 0$ である。 $x, y$ は一次独立なので $u = v = 0$ 。従って $P$ の核は零ベクトルだけであり、 $P$ は逆行列をもつ。(2) $B$ が任意の $x$ をその実数倍へ移すなら $B$ はスカラー行列になる。従って $x$ と $y = B x$ が一次独立となる $x$ を選べる。(1)より、この2本を列にもつ $P$ は可逆である。また

B^{2} = (p^{2} + b c) E .

よって $B x = y$ 、 $B y = (p^{2} + b c) x$ であり、基底 $x, y$ に関する表現行列は

P^{- 1} B P = (01 p^{2} + b c 0) .

(3)

共通の跡を $t$ とし

B = A - \frac{t}{2} E, B^{'} = A^{'} - \frac{t}{2} E

とおく。両者は跡0で、スカラー行列ではない。2次行列の固有方程式から

B^{2} = (\frac{t ^{2}}{4} - det A) E, B^{'}^{2} = (\frac{t ^{2}}{4} - det A^{'}) E .

行列式が等しいので右辺の係数は共通である。(2)により可逆行列 $P_{1}, P_{2}$ を選び、 $P_{1}^{- 1} B P_{1} = P_{2}^{- 1} B^{'} P_{2}$ とできる。従って $P = P_{1} P_{2}^{- 1}$ とおけば

P^{- 1} A P = A^{'} .

京都大学 1995年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(3)

京都大学 1995年度
後期・理系数学後期第4問