京都大学 1995年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$f (n)$ を $n$ の7による余り、 $g (n) = 3 f (\sum_{k = 1}^{7} k^{n})$ とする。

(1) $f (n^{7}) = f (n)$ を示せ。

(2) 好きな自然数 $n$ を決めて $g (n)$ を求め、その値を得点とせよ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

7を法とするフェルマーの小定理を0の剰余も含めて用いる。(2)は得点を最大化するため指数を6の倍数に選ぶ。

解答

(1)

$n$ が7の倍数なら $n^{7} \equiv n \equiv 0 (mod 7)$ である。7の倍数でなければフェルマーの小定理から $n^{6} \equiv 1 (mod 7)$ なので、やはり $n^{7} \equiv n (mod 7)$ である。従って $f (n^{7}) = f (n)$ 。(2) $n = 6$ を選ぶ。 $k = 1, 2, \dots, 6$ について $k^{6} \equiv 1 (mod 7)$ 、 $7^{6} \equiv 0 (mod 7)$ だから

k = 1 \sum 7 k^{6} \equiv 6 (mod 7) .

従って

g (6) = 3 f (k = 1 \sum 7 k^{6}) = 3 \cdot 6 = 18.

なお $f$ の値は0から6なので、18はこの設問で得られる最大得点でもある。

京都大学 1995年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

京都大学 1995年度
後期・文系数学後期第4問