京都大学 1995年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$a, b, c ≧ 0$ 、 $p (x) = a x^{2} + b x + c$ 、 $q (x) = c x^{2} + b x + a$ とする。 $∣ x ∣ ≦ 1$ で常に $∣ p (x) ∣ ≦ 1$ なら、 $∣ x ∣ ≦ 1$ で常に $∣ q (x) ∣ ≦ 1$ を示せ。

出典：京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

非負係数を利用して $p (1)$ から係数和を抑え、 $q$ を各項の絶対値で評価する。

解答

$x = 1$ を代入すると、係数が非負であることから

0 ≦ a + b + c = p (1) ≦ 1.

従って $∣ x ∣ ≦ 1$ では

∣ q (x) ∣ = ∣ c x^{2} + b x + a ∣ ≦ c ∣ x ∣^{2} + b ∣ x ∣ + a ≦ a + b + c ≦ 1.

よってすべての $- 1 ≦ x ≦ 1$ で $∣ q (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つ。

京都大学 1995年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1995年度
後期・文系数学後期第3問