問題
点を通るだ円 を1次変換で移した集合をとする．
(1) ならば，直線は異なる2点，でと交わることを示せ．
(2) ，とする．(1)の，とそれぞれ同じ座標をもつ点， が上にあることを示し，線分の長さの比を求めよ．
出典：京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
変換後の点を とすると、元の点は である。そこで の方程式を作り、 とおいて を利用する。(1)は を代入した二次方程式の判別式、(2)は同じ 座標を保って横方向のもう一つの交点を根と係数の関係で求める。
解答
で移った点を とする。行列
は元の点 を に移すので、逆に である。したがって の方程式は である。
また、点 が 上にあるから である。以下 とおくと、 である。
(1)
を の方程式に代入すると である。 を用いて整理すると となる。これは についての二次方程式であり、その判別式は である。
ここで かつ だから である。 より となるので、 である。したがって直線 は と異なる2点で交わる。
(2)
(1)の2点を とおく。 として との交点を調べると である。これは についての二次方程式で、解の一つは である。解の和は だから、もう一つの解は である。よって同じ 座標をもつもう一つの点は である。
この点が と一致するのは すなわち のときである。これを の方程式に代入すると より となる。いま であるから、 がいえる。
さらに であるから である。一方 なので である。したがって である。