京都大学 1995年度
文系数学 第3問

解答

円の接線を $y=px+q$ とおく。円の中心は $(0,a)$ であるから、中心から直線 $px-y+q=0$ までの距離が $r$ であることより $\frac{|q-a|}{\sqrt{p^2+1}}=r$ である。したがって $q=a\pm r\sqrt{p^2+1}$ である。

同じ傾き $p$ なら、$q$ が小さいほど放物線 $y=x^2$ との囲む面積は小さくなる。よって最小値を考えるには $q=a-r\sqrt{p^2+1}$ だけを扱えばよい。

直線 $y=px+q$ と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2-px-q=0$ の2根である。この判別式を $D=p^2+4q$ とおく。2根を $\alpha ,\beta$ とすると、$\beta -\alpha =\sqrt{D}$ であり、囲まれる部分の面積は

である。

したがって、面積を最小にするには $D=p^2+4a-4r\sqrt{p^2+1}$ を最小にすればよい。ここで $u=\sqrt{p^2+1}(u\geqq 1)$ とおくと $D=u^2-1+4a-4ru=(u-2r{)}^2+4a-1-4r^2$ である。 $0<r<1/2$ のとき、$2r<1$ なので、制約 $u\geqq 1$ のもとでは $u=1$ で最小となる。このとき $D_{\min }=1-1+4a-4r=4a-4r$ である。

一方、$r\geqq 1/2$ のときは $2r\geqq 1$ であり、$u=2r$ が許されるから $D_{\min }=4a-1-4r^2$ である。問題の仮定 $0<r<\frac{1}{2}\sqrt{4a-1}$ により、この値は正である。

よって求める面積の最小値は

である。