京都大学 1995年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列、整数
- 解法
- 同値変形、範囲評価、場合分け
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 15分
問題
数列xnを
xn=−an2+bn+c,n=1,2,3,⋯
によって定める．このとき，次の2つの条件(イ)，(ロ)をみたす自然数a，b，cを求めよ．
(イ) 4，x1，x2はこの順で等差数列である．
(ロ) すべての自然数nに対して(2xn+xn+1)2≧xnxn+1+1が成り立つ．
出典：京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(イ)から 2x1=x2+4 を立て、2a+c=4 を得る。自然数を正の整数として a=1,c=2 に絞る。(ロ)は平均の平方と積の差を平方に直し、すべての n で ∣xn+1−xn∣≧2 となる条件に変換して b を決める。
解答
(イ)より、4,x1,x2 がこの順で等差数列であるから x1−4=x2−x1 すなわち 2x1=x2+4 である。ここに x1=−a+b+c,x2=−4a+2b+c を代入すると 2(−a+b+c)=−4a+2b+c+4 であり、整理して 2a+c=4 を得る。a,c は自然数、すなわち正の整数なので a=1,c=2 である。
次に(ロ)を変形する。任意の実数 u,v について (2u+v)2−uv=4(u−v)2 であるから、(ロ)は 4(xn−xn+1)2≧1 すなわち ∣xn+1−xn∣≧2 と同値である。 a=1,c=2 のとき xn=−n2+bn+2 である。したがって xn+1−xn=−(n+1)2+n2+b=b−(2n+1) である。よって、すべての自然数 n について ∣b−(2n+1)∣≧2 が必要十分である。
まず b=1 なら ∣1−(2n+1)∣=2n≧2 であり、条件を満たす。逆に b≧2 とする。b=2k が偶数なら、n=k とすれば ∣b−(2n+1)∣=∣2k−(2k+1)∣=1 となり不適である。b=2k+1 が奇数なら、b≧3 なので k≧1 であり、n=k とすれば ∣b−(2n+1)∣=0 となり不適である。
したがって b=1 に限られる。以上より (a,b,c)=(1,1,2) である。
